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Primer taller (6 de Noviembre del 2001): Dos lenguajes matemáticos: conjuntos y categorías
En
este primer taller, la Dra.
Ivonne Pallares presentó una
comparación entre la teoría de los conjuntos y la teoría de las
categorías. En
la teoría de los conjuntos se reconocen individuos y agrupaciones de
individuos. De esta manera obtenemos los conjuntos que, para muchos filósofos,
son precisamente el objeto de
estudio de las matemáticas. La teoría codifica las formas de obtener más
conjuntos, y considera como primitiva a la noción de membresía o
pertenencia. Ejemplos
de símbolos: Un
conjunto se puede representar de la siguiente manera: A = { a, b, c, d } La pertenencia se representa de la siguiente manera: aÎA,
bÎA,
cÎA,
dÎA La no pertencia se representa de la siguiente manera: fÏA La definición del conjunto A es la siguiente: A
= {x½x
es una de las 4 primeras letras del alfabeto} La definición del conjunto vacío es la siguiente: Æ
= {x½x
¹x}
conjunto vacío. Además
de las nociones primitivas de igualdad y membresía, existe otra noción
(no primitiva) en la teoría de conjuntos, la
inclusión. Dados
dos conjuntos cualesquiera
A y B,
la teoría de los conjuntos nos dice cuándo: -
A
es subconjunto de B, o A
está incluido en B (AÍB)
si y sólo si todo elemento
de A es (también) un
elemento de B; y -
A es igual a B
(A = B) si y sólo si A
es subconjunto de B y
B es subconjunto de
A ÆÍA
porque no hay nada en Æ
que
no esté en A. Además
hay una serie de axiomas: -
El
conjunto vacío es un conjunto y se anota:
Æ -
La
intersección de dos conjuntos A
y B se define como:
AÇB=
{x½x
Î
A y x Î
B}. -
La
unión de dos conjuntos A y B se
define así: AÈB=
{x½x
Î
A o x Î
B}. -
La
diferencia entre dos conjuntos se define como: A
– B = {x½x
Î
A y x Ï
B} -
Axioma
de pares: Si A y
B son conjuntos, entonces
{A, B} es un conjunto. -
Axioma
del conjunto potencia: P(A)
= conjunto de todos los subconjuntos de A.
Así, si A es un conjunto
arbitrario, AÎ
P (A)
y Æ
Î
P (A).
Escribimos
#A para denotar el número
de elementos de A. Si
el número de elementos de A
es n, entonces el número de
elementos de P(A) es 2n,
donde n denota un número
natural. Se puede demostrar que si A
tiene n elementos, entonces P(A)
tiene 2n
elementos (y como n <
2n,
para cualquier número natural n,
P(A) siempre tiene más
elementos que A). -
Axioma
de infinito: existe un conjunto w
con
un número infinito de elementos. Como
#w
<
# P (w),
entonces # P (w)
también es un conjunto con un número infinito de elementos. Otro
ejemplo de un conjunto infinito lo constituye: Æ,
{Æ},
{ Æ,
{ Æ}},
{ Æ,
{ Æ},
{ Æ,
{Æ}}},... La teoría de conjuntos, a diferencia de otras ramas de las matemáticas (como por ejemplo la teoría de números, el cálculo, el álgebra, etc.) tiene la peculiaridad de que la gran mayoría de los conceptos de las matemáticas pueden ser parafraseados o traducidos en términos de las nociones de la teoría de conjuntos Pero
existe otra teoría, la ‘teoría
de las categorías’, que también tiene esta peculiaridad. Una categoría
está constituida o determinada por dos
tipos de entidades, sus ‘objetos’
y sus ‘morfismos’. Cada
uno de estos últimos tiene, por definición, un ‘dominio’
y un ‘codominio’, los
cuales son objetos de la categoría en cuestión.
Figura 1
El
universo que la teoría de conjuntos hace posible a partir de algunos de
sus axiomas y del conjunto vacío constituye una categoría. Los
morfismos en este caso son simplemente las funciones entre conjuntos. Por
ejemplo una función ‘f’
puede asignar a una persona su mejor amigo y una función
‘g’ puede asignar
a ese amigo su libro preferido. Denotaremos con ‘gf
‘ a la composición de esas dos funciones, que en este ejemplo indicaría
la “operación” de ofrecerle su libro favorito al mejor amigo de
uno. Objeto Inicial Una
categoría C tiene ‘objeto
inicial’, al que se denota generalmente como ‘I’,
si para cada objeto A
de la categoría (incluyendo a I)
existe uno y sólo
un
morfismo en C con dominio I
y codominio A. Objeto Terminal Una categoría C tiene ‘objeto terminal’ T, si para cada objeto A de C (incluyendo a T) existe uno y sólo un morfismo en C con dominio A y codominio T.
Alejandro Brauer Vega Jean-Philippe Jazé
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